Упр.3.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные
из вершин при основании, равны;
Доказательство:
1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник, а BB1 и AA1-его
биссеткрисы;
2) У равнобедренных треугольников углы при основании равны
(теорема 3.3), значит: угол A = углу B;
3) Биссектрисы делят угол на две равные части, значит:
угол B1 BA=1/2 угол B1 BA=1/2 угол A1 BA = углу A1 AB;
4) Треугольники ABB1 и ABA1 равны по второму признаку (сторона
AB-общая), значит BB1=AA1, что и требовалось доказать.
2) Отобразим условие задачи:
Доказать: у равнобедренного треугольника медианы, проведенные
из вершин при основании, равны;
Доказательство:
1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник, а BB1 и AA1-его
медианы;
2) У равнобедренных треугольников углы при основании и боковые
стороны (теорема 3.3) равны, значит: AC=CB и угол A = углу B;
3) Медианы делят сторону на две равные части, значит:
AB1=1/2 AC=1/2 AB=BA1;
4) Треугольники ABB1 и ABA1 равны по первому признаку (сторона
AB-общая), значит BB1=AA1, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AC=BC$$. Проведены биссектрисы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ из вершин при основании.

Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:

$$\angle A=\angle B.$$

Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, имеем:

$$\angle BAA_1=\frac12\angle A,\qquad \angle ABB_1=\frac12\angle B.$$

Из равенства $$\angle A=\angle B$$ следует:

$$\angle BAA_1=\angle ABB_1.$$

Кроме того, сторона $$AB$$ — общая для треугольников $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$, а также $$AC=BC$$ не требуется для этого пункта. Следовательно, треугольники $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$ равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит,

$$BB_1=AA_1.$$

2) Теперь пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы того же равнобедренного треугольника $$ABC$$.

Так как $$AC=BC$$, а $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, то точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Поэтому

$$BA_1=\frac12\,BC,\qquad AB_1=\frac12\,AC.$$

Но $$AC=BC$$, значит

$$BA_1=AB_1.$$

Рассмотрим треугольники $$ABA_1$$ и $$BAB_1$$. У них:

$$AB$$ — общая сторона,

$$BA_1=AB_1,$$

$$\angle A B A_1=\angle B A B_1$$

как углы при основании равнобедренного треугольника, так как лучи $$BA_1$$ и $$AB_1$$ лежат на сторонах $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

Следовательно, треугольники $$ABA_1$$ и $$BAB_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда