Упр.3.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите, что у равнобедренного треугольника:
- биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
- медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны.
Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, у которого $$AC=BC$$.
1) Докажем, что биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны.
Пусть $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$A$$ соответственно. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $$\angle A=\angle B$$.
Так как $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle ABB_1=\frac12\angle B,\qquad \angle BAA_1=\frac12\angle A.$$
Следовательно, $$\angle ABB_1=\angle BAA_1$$. Кроме того, $$AB$$ — общая сторона треугольников $$ABB_1$$ и $$ABA_1$$.
Значит, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle ABA_1$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда
$$BB_1=AA_1.$$
2) Докажем, что медианы, проведённые из вершин при основании, равны.
Пусть $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$. Тогда $$B_1$$ — середина $$AC$$, а $$A_1$$ — середина $$BC$$, поэтому
$$AB_1=\frac12 AC,\qquad BA_1=\frac12 BC.$$
Так как $$AC=BC$$, то
$$AB_1=BA_1.$$
Кроме того, $$\angle ABB_1=\angle BAA_1=\angle A$$? Нет, здесь удобнее рассмотреть треугольники $$ABB_1$$ и $$ABA_1$$: у них
$$AB$$ — общая сторона, $$AB_1=BA_1$$, а углы при вершине $$A$$ и $$B$$ равны, то есть $$\angle BAB_1=\angle ABA_1$$, поскольку $$\angle A=\angle B$$ и точки $$B_1\in AC$$, $$A_1\in BC$$.
Следовательно, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle ABA_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$BB_1=AA_1.$$
Итак, у равнобедренного треугольника биссектрисы и медианы, проведённые из вершин при основании, равны.
