Вопрос 20 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.

1. Докажите: если хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$S$$, то $$AS\cdot BS=CS\cdot DS$$.
2. Докажите: если из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ соответственно, то $$AP\cdot BP=CP\cdot DP$$.

Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$S$$. Докажем, что

$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$

Рассмотрим треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$.

Вписанные углы $$DAB$$ и $$DCB$$ опираются на одну и ту же хорду $$DB$$, значит, они равны. Кроме того, $$\angle ASD=\angle BSC$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle ASD \sim \triangle CSB$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{DS}{BS}=\frac{AS}{CS}.$$

Перемножая крест-накрест, получаем

$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$

Теперь докажем свойство секущих. Пусть из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие её в точках $$A, B$$ и $$C, D$$ соответственно, причём точки $$A$$ и $$C$$ ближе к точке $$P$$.

Рассмотрим треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$.

Вписанные углы $$ABC$$ и $$ADC$$ опираются на одну хорду $$AC$$, значит, $$\angle ABC=\angle ADC$$. Также угол при точке $$P$$ общий для соответствующих секущих, поэтому треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$ подобны по двум углам.

Из подобия следует:

$$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}.$$

Отсюда

$$PA\cdot PB=PC\cdot PD.$$

Что и требовалось доказать.