Упр.8.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: точка A(3; 6);
Найти: точку, равноудаленную от осей координат и от данной точки;
Решение:
1) Пусть B(x; y)-искомая точка, тогда AB=d-расстояние между
точками;
2) По условию, точка B равноудалена от осей абсцисс и ординат, значит:
x=y, а так как она удалена на то же расстояние и от точки B, то:
x=y=d;
3) Найдем координаты точки B:
d^2=(3-x)^2+(6-y)^2;
x^2=(3-x)^2+(6-x)^2;
x^2=9-6x+x^2+36-12x+x^2;
x^2-x^2-x^2+6x+12x-9-36=0;
-x^2+18x-45=0 |•(-1);
x^2-18x+45=0;
D=18^2-4•45=324-180=144, тогда:
x1=(18-12)/2=6/2=3 и x2=(18+12)/2=30/2=15;
4) Так как y=x, то: y1=3 и y2=15;
Ответ: (3; 3) и (15; 15).

Пусть $$B(x;y)$$ — искомая точка. Так как она равноудалена от осей координат, то её расстояния до осей абсцисс и ординат равны, значит

$$|x|=|y|.$$

Кроме того, точка $$B$$ равноудалена от точки $$A(3;6)$$ на то же расстояние, что и от осей координат. Поэтому

$$AB=|x|=|y|.$$

Рассмотрим два случая.

1) $$y=x$$. Тогда

$$AB^2=(3-x)^2+(6-x)^2,$$

а так как $$AB=|x|$$, то

$$x^2=(3-x)^2+(6-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2=9-6x+x^2+36-12x+x^2,$$

$$x^2-18x+45=0.$$

Найдём корни:

$$D=18^2-4\cdot 45=324-180=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{18\pm 12}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=3,\qquad x_2=15.$$

Так как $$y=x$$, получаем точки $$B_1(3;3)$$ и $$B_2(15;15)$$.

2) $$y=-x$$. Тогда

$$AB^2=(3-x)^2+(6+x)^2,$$

и из условия $$AB=|x|$$ получаем

$$x^2=(3-x)^2+(6+x)^2.$$

После раскрытия скобок:

$$x^2=9-6x+x^2+36+12x+x^2,$$

$$x^2+6x+45=0.$$

Дискриминант

$$D=6^2-4\cdot 45=36-180<0,$$

значит, действительных решений в этом случае нет.

Следовательно, искомые точки:

$$B_1(3;3),\quad B_2(15;15).$$

Ответ

$$ (3;3)\ \text{и}\ (15;15). $$