Упр.1.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Даны прямая $$a$$ и точки $$A$$, $$X$$, $$Y$$, $$Z$$ на этой прямой (рис. 11). Известно, что точки $$X$$ и $$Y$$ лежат по одну сторону от точки $$A$$, точки $$X$$ и $$Z$$ тоже лежат по одну сторону от точки $$A$$. Как расположены точки $$Y$$ и $$Z$$ относительно точки $$A$$: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$b$$. Она разбивает плоскость на две полуплоскости, а прямую $$a$$ — на две полупрямые.

Если точки $$X$$ и $$Y$$ лежат по одну сторону от точки $$A$$, то они принадлежат одной полупрямой с началом в $$A$$. Аналогично, если точки $$X$$ и $$Z$$ лежат по одну сторону от точки $$A$$, то точки $$X$$ и $$Z$$ тоже принадлежат одной полупрямой.

Так как точка $$X$$ одна и та же, то точки $$Y$$ и $$Z$$ оказываются на той же полупрямой, что и $$X$$. Значит, точки $$Y$$ и $$Z$$ расположены по одну сторону от точки $$A$$.

Ответ: по одну сторону от точки $$A$$.