Упр.9.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 210).
Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Проведём через точку $$O$$ прямые $$MN$$ и $$EF$$, параллельные сторонам прямоугольника.
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно,
$$AO=BO=CO=DO.$$
Значит, треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равнобедренные. Прямые $$EF$$ и $$MN$$ проходят через вершину $$O$$ и перпендикулярны соответствующим сторонам прямоугольника, поэтому они являются высотами этих треугольников. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому
$$AE=BE=CF=FD=\frac12 AB.$$
Рассмотрим четырёхугольники $$BMOE$$ и $$ANOE$$. У них соседние стороны попарно перпендикулярны, значит это прямоугольники. Тогда
$$MO=BE=AE=ON.$$
Теперь возьмём произвольную точку $$X$$ на стороне $$BC$$ и опустим из неё перпендикуляр $$XO_1$$ на прямую $$EF$$. Обозначим через $$X’$$ точку пересечения этого перпендикуляра со стороной $$AD$$.
Четырёхугольники $$MXO_1O$$ и $$NX’O_1O$$ также являются прямоугольниками, поэтому
$$XO_1=MO=ON=O_1X’.$$
Следовательно, точки $$X$$ и $$X’$$ симметричны относительно прямой $$EF$$. Так как точка $$X$$ была произвольной, то отрезки $$BC$$ и $$AD$$ симметричны относительно $$EF$$.
Аналогично доказывается, что отрезки $$AB$$ и $$CD$$ также симметричны относительно $$EF$$. Значит, прямая $$EF$$ является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$.
Точно так же доказывается, что и прямая $$MN$$ является осью симметрии прямоугольника.
