Упр.13.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: две окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между их
центрами d < R1-R2; Найти: наибольшее и наименьшее расстояние между точками X и Y этих окружностей; Решение: 1) Пусть O1-центр окружности радиуса R1 и O2-центр окружности радиуса R2; 2) Так как d < R1-R2, то центр окружности радиуса O2 лежит внутри окружности радиуса R1, а сами окружности не пересекаются; 3) Пусть X и Y произвольные точки окружностей с центрами O1 и O2 соответственно, тогда для ломаной XYO2 O1 по теореме 13.1: XO1 < =XY+YO2+O2 O1; R1 < =XY+R2+d, отсюда XY > = R1-R2-d;
Значит расстояние R1-R2-d наименьшее;
4) Аналогично для ломаной XO1 O2 Y согласно теореме 13.1:
XY < = XO1+O1 O2+O2 Y = > XY < = d+R1+R2; Значит расстояние d+R1+R2 наибольшее; Ответ: R1+R2+d; R1-R2-d.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ соответственно, причём $$O_1O_2=d$$.

Так как $$d<R_1-R_2$$, то окружность с центром $$O_2$$ целиком лежит внутри окружности с центром $$O_1$$, и окружности не пересекаются.

Найдём наименьшее расстояние между точками $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей. Для ломаной $$XO_1O_2Y$$ по неравенству треугольника имеем:

$$XO_1 \le XY+YO_2+O_2O_1.$$

Так как $$XO_1=R_1$$, $$YO_2=R_2$$, $$O_2O_1=d$$, то

$$R_1 \le XY+R_2+d,$$

откуда

$$XY \ge R_1-R_2-d.$$

Значит, наименьшее расстояние равно $$R_1-R_2-d$$.

Теперь найдём наибольшее расстояние. Для ломаной $$XO_1O_2Y$$ снова по неравенству треугольника:

$$XY \le XO_1+O_1O_2+O_2Y.$$