Упр.3.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Через середину $$O$$ отрезка $$AB$$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $$AB$$. Докажите, что каждая точка $$X$$ этой прямой одинаково удалена от точек $$A$$ и $$B$$.

Пусть $$X$$ — произвольная точка данной прямой. Тогда $$XO \perp AB$$, а значит $$\angle AOX=\angle BOX=90^\circ$$.

Так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$AO=OB$$.

Рассмотрим треугольники $$AXO$$ и $$BXO$$. У них:

• $$AO=OB$$;
• $$XO$$ — общая сторона;
• $$\angle AOX=\angle BOX=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AXO \cong \triangle BXO$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие стороны равны:

$$XA=XB$$.

Итак, каждая точка данной прямой одинаково удалена от точек $$A$$ и $$B$$, что и требовалось доказать.