Упр.10.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: параллелограмм ABCD;
Доказать: равенство векторов (AB) и (DC);
Доказательство:
1) По свойству параллелограмма: AB=DC, AD||BC и AB||DC;
2) Подвергнем вектор (AB) параллельному переносу, при котором точка A
переходит в точку D;
3) При таком переносе точка A смещается по прямой AD, значит точка B
смещается по параллельной прямой BC;
4) Прямая AB переходит в параллельную ей прямую, так как точка A
совместилась с точкой D, то прямая AB переходит в прямую DC;
5) Так как DC=AB, то точка B переходит в точку D;
6) Таким образом, векторы (AB) и (DC) можно совместить параллельным
переносом, следовательно они равны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $$AB \parallel DC$$ и $$AB=DC$$.

Рассмотрим параллельный перенос, при котором точка $$A$$ переходит в точку $$D$$. Тогда прямая $$AB$$ переходит в прямую, проходящую через $$D$$ и параллельную $$AB$$. Но через точку $$D$$ такая прямая совпадает с прямой $$DC$$, так как $$AB \parallel DC$$.

Кроме того, так как $$AB=DC$$, то образ точки $$B$$ при этом переносе совпадает с точкой $$C$$. Значит, вектор $$\overrightarrow{AB}$$ переходит в вектор $$\overrightarrow{DC}$$.

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ равны.