Упр.13.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Решите задачу 1 при условии, что $$d
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ соответственно, причём $$O_1O_2=d$$.
Так как $$d<R_1-R_2$$, то окружность с центром $$O_2$$ целиком лежит внутри окружности с центром $$O_1$$, и окружности не пересекаются.
Найдём наименьшее расстояние между точками $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей. Для любой пары точек $$X\in (O_1,R_1)$$ и $$Y\in (O_2,R_2)$$ рассмотрим ломаную $$XO_1O_2Y$$. По неравенству треугольника:
$$XO_1\leqslant XY+YO_2+O_2O_1.$$
Так как $$XO_1=R_1$$, $$YO_2=R_2$$, $$O_2O_1=d$$, получаем
$$R_1\leqslant XY+R_2+d,$$
откуда
$$XY\geqslant R_1-R_2-d.$$
Значит, наименьшее расстояние равно $$R_1-R_2-d$$.
Теперь найдём наибольшее расстояние. Для ломаной $$XO_1O_2Y$$ снова по неравенству треугольника:
$$XY\leqslant XO_1+O_1O_2+O_2Y.$$
Подставляя известные длины, получаем
$$XY\leqslant R_1+d+R_2.$$
Следовательно, наибольшее расстояние равно $$R_1+R_2+d$$.
Ответ
Наибольшее расстояние: $$R_1+R_2+d$$, наименьшее расстояние: $$R_1-R_2-d$$.
