Вопрос 2 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Пусть дана ломаная $$A_1A_2A_3\dots A_n$$. Тогда её длина равна

$$A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{n-1}A_n.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1A_2A_3$$. По неравенству треугольника

$$A_1A_3\le A_1A_2+A_2A_3.$$

Значит, если заменить звенья $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3$$, длина ломаной не увеличится.

Аналогично, заменяя последовательно звенья $$A_1A_3$$ и $$A_3A_4$$ звеном $$A_1A_4$$, затем $$A_1A_4$$ и $$A_4A_5$$ звеном $$A_1A_5$$ и так далее, получим отрезок $$A_1A_n$$. При каждой замене длина не увеличивается.

Следовательно, длина исходной ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы:

$$A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{n-1}A_n\ge A_1A_n.$$