Упр.12.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У треугольника две стороны равны $$5\ \text{м}$$ и $$6\ \text{м}$$, а синус угла между ними равен $$0{,}6$$. Найдите третью сторону.

Обозначим угол между данными сторонами через $$\angle A$$. Тогда $$AB=5$$ м, $$AC=6$$ м, $$\sin \angle A=0{,}6$$.

По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin^2 \angle A+\cos^2 \angle A=1,$$

откуда

$$\cos \angle A=\pm\sqrt{1-\sin^2 \angle A}=\pm\sqrt{1-0{,}6^2}=\pm\sqrt{0{,}64}=\pm 0{,}8.$$

По теореме косинусов для третьей стороны $$BC$$ получаем:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Подставим значения:

$$BC^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot (\pm 0{,}8)=25+36\mp 48.$$

Следовательно, возможны два значения:

$$BC^2=61-48=13,$$

или

$$BC^2=61+48=109.$$

Значит,

$$BC=\sqrt{13}$$ или $$BC=\sqrt{109}.$$

Ответ: $$\sqrt{13}$$ или $$\sqrt{109}$$.