Упр.7.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$X$$. Докажите, что отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$.

Проведём высоту $$CD$$ треугольника $$ABC$$ к прямой $$AB$$, где $$D \in AB$$.

Точка $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, значит возможны два случая:

• $$X$$ лежит между $$A$$ и $$D$$;
• $$X$$ лежит между $$D$$ и $$B$$.

Рассмотрим первый случай. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CDX$$ имеем $$DX<AD$$. Следовательно,

$$CX<CA,$$

так как в треугольнике с общей высотой $$CD$$ меньшей проекции на прямую $$AB$$ соответствует меньшая боковая сторона.

Во втором случае аналогично получаем $$DX<BD$$, откуда

$$CX<CB.$$

Итак, в любом случае отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$, что и требовалось доказать.