Упр.4.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам: 1) $$1, 2, 3$$; 2) $$2, 3, 4$$; 3) $$3, 4, 5$$; 4) $$4, 5, 6$$; 5) $$5, 6, 7$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Обозначим углы треугольника через $$\angle 1$$, $$\angle 2$$, $$\angle 3$$ и найдём их по условию пропорциональности.

1. Если углы пропорциональны числам $$1:2:3$$, то пусть $$\angle 1=x$$, $$\angle 2=2x$$, $$\angle 3=3x$$. Тогда

   $$x+2x+3x=180^\circ$$

   $$6x=180^\circ,\quad x=30^\circ.$$

   Следовательно, $$\angle 1=30^\circ$$, $$\angle 2=60^\circ$$, $$\angle 3=90^\circ$$.

2. Если углы пропорциональны числам $$2:3:4$$, то пусть $$\angle 1=2x$$, $$\angle 2=3x$$, $$\angle 3=4x$$. Тогда

   $$2x+3x+4x=180^\circ$$

   $$9x=180^\circ,\quad x=20^\circ.$$

   Следовательно, $$\angle 1=40^\circ$$, $$\angle 2=60^\circ$$, $$\angle 3=80^\circ$$.

3. Если углы пропорциональны числам $$3:4:5$$, то пусть $$\angle 1=3x$$, $$\angle 2=4x$$, $$\angle 3=5x$$. Тогда

   $$3x+4x+5x=180^\circ$$

   $$12x=180^\circ,\quad x=15^\circ.$$

   Следовательно, $$\angle 1=45^\circ$$, $$\angle 2=60^\circ$$, $$\angle 3=75^\circ$$.

4. Если углы пропорциональны числам $$4:5:6$$, то пусть $$\angle 1=4x$$, $$\angle 2=5x$$, $$\angle 3=6x$$. Тогда

   $$4x+5x+6x=180^\circ$$

   $$15x=180^\circ,\quad x=12^\circ.$$

   Следовательно, $$\angle 1=48^\circ$$, $$\angle 2=60^\circ$$, $$\angle 3=72^\circ$$.

5. Если углы пропорциональны числам $$5:6:7$$, то пусть $$\angle 1=5x$$, $$\angle 2=6x$$, $$\angle 3=7x$$. Тогда

   $$5x+6x+7x=180^\circ$$

   $$18x=180^\circ,\quad x=10^\circ.$$

   Следовательно, $$\angle 1=50^\circ$$, $$\angle 2=60^\circ$$, $$\angle 3=70^\circ$$.

Ответ: 1) $$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$$; 2) $$40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$$; 3) $$45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$$; 4) $$48^\circ, 60^\circ, 72^\circ$$; 5) $$50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$$.