Упр.13.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна $$a$$. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в окружность. Для правильного $$n$$-угольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, сторона равна

$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}.$$

Для треугольника имеем:

$$a=2R\sin 60^\circ=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Теперь найдём сторону квадрата, вписанного в ту же окружность:

$$x=2R\sin 45^\circ=2\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Ответ: $$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$