Вопрос 19 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной к окружности.
Пусть из точки $$B$$ к окружности с центром $$O$$ проведены касательная $$AB$$ и хорда $$BC$$. Докажем, что угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, то есть
$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$
Проведём диаметр $$BD$$ окружности. Тогда радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной $$AB$$, значит
$$\angle ABD=90^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$BCD$$. Угол $$\angle BCD$$ — вписанный, опирающийся на дугу $$BD$$, поэтому
$$\angle BOD=2\angle BCD.$$
Так как точки $$O, C, D$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle BOC$$ и $$\angle COD$$ смежные, следовательно
$$\angle BOC=180^\circ-\angle COD.$$
Но $$\angle COD=\angle BOD=2\angle BCD$$, значит
$$\angle BOC=180^\circ-2\angle BCD,$$
откуда
$$\angle BCD=90^\circ-\frac12\angle BOC.$$
Теперь возможны два случая.
Если луч $$BC$$ лежит внутри угла $$ABD$$, то
$$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD.$$
Так как $$\angle CBD=\angle BCD$$, получаем
$$\angle ABC=90^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BOC\right)=\frac12\angle BOC.$$
Если луч $$BC$$ лежит вне угла $$ABD$$, то
$$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD.$$
Тогда
$$\angle ABC=90^\circ+\left(90^\circ-\frac12\angle BOC\right)=180^\circ-\frac12\angle BOC.$$
В этом случае искомый угол между хордой и касательной — смежный с $$\angle ABC$$, поэтому
$$180^\circ-\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$
В обоих случаях угол между хордой и касательной равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Теорема доказана.
