Упр.6.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, у которого $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. У них:

• $$AB=CD$$ — по условию;
• $$AC$$ — общая сторона;
• $$\angle BAC=\angle ACD$$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AC$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle BCA=\angle CAD.$$

Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AC$$, значит,

$$BC \parallel AD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон параллельны: $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. По определению, $$ABCD$$ — параллелограмм.