Упр.5.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Окружность, вписанная в треугольник $$ABC$$, касается его сторон в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ (рис. 109). Докажите, что $$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}$$.

Пусть $$AB_1=x,$$ $$BA_1=y,$$ $$AC_1=z.$$

Так как окружность вписана в треугольник, то от одной и той же вершины касательные к окружности равны:

$$AB_1=AC_1,\quad BA_1=BC_1,\quad CA_1=CB_1.$$

Значит, можно записать:

$$AB=x+y,$$ $$AC=x+z,$$ $$BC=y+z.$$

Тогда

$$AB+AC-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z)=2x.$$

Но $$x=AC_1,$$ следовательно,

$$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}.$$

Что и требовалось доказать.