Упр.15.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В прямой треугольной призме стороны основания равны $$10\ \text{см}$$, $$17\ \text{см}$$ и $$21\ \text{см}$$, а высота призмы $$18\ \text{см}$$. Найдите площадь сечения, проведённого через боковое ребро и меньшую высоту основания.
Пусть $$ABCA_1B_1C_1$$ — данная прямая треугольная призма, где $$AB=10$$ см, $$AC=17$$ см, $$BC=21$$ см, а высота призмы $$AA_1=18$$ см.
Найдём площадь основания $$\triangle ABC$$ по формуле Герона:
$$p=\frac{10+17+21}{2}=24$$
$$S_{ABC}=\sqrt{24\cdot(24-10)\cdot(24-17)\cdot(24-21)} =\sqrt{24\cdot14\cdot7\cdot3} =84\text{ см}^2$$
Наименьшая высота треугольника проведена к наибольшей стороне, то есть к стороне $$BC$$. Обозначим эту высоту через $$AH$$. Тогда
$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AH$$
откуда
$$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot84}{21}=8\text{ см}$$
Проведём через боковое ребро $$AA_1$$ и высоту $$AH$$ искомое сечение. Оно будет прямоугольником $$AA_1H_1H$$, так как $$AA_1$$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $$AA_1\perp AH$$, и в прямой призме боковые рёбра параллельны друг другу.
Тогда площадь сечения равна
$$S=AA_1\cdot AH=18\cdot8=144\text{ см}^2$$
Ответ: $$144\text{ см}^2$$.
