Вопрос 18 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно
опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один;
Доказательство:
1) Пусть a-данная прямая и A-не лежащая на ней точка;
2) Проведем через произвольную точку прямой a перпендикулярную
ей прямую;
3) Затем проведем через точку A параллельную этой прямой прямую b,
она будет перпеникулярна прямой a (следствие из теоремы 4.3);
4) Отрезок AB прямой b, где B-точка пересечения прямых a и b и есть
перпендикуляр к прямой a, проведенный из точки A;
5) Допустим, существует другой перпендикуляр AC, тогда утреугольника
ABC будет два прямых угла, что невозможно, значит существует только
один такой перпендикуляр, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$A$$ — точка, не лежащая на ней.

Через произвольную точку прямой $$a$$ проведём прямую, перпендикулярную $$a$$. Затем через точку $$A$$ проведём прямую $$b$$, параллельную этой прямой. Тогда по свойству параллельных прямых прямая $$b$$ тоже перпендикулярна прямой $$a$$.

Пусть $$B$$ — точка пересечения прямых $$a$$ и $$b$$. Тогда отрезок $$AB$$ является перпендикуляром, опущенным из точки $$A$$ на прямую $$a$$.

Докажем, что такой перпендикуляр единственный. Предположим, что из точки $$A$$ к прямой $$a$$ можно провести ещё один перпендикуляр $$AC$$, где $$C \in a$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ окажутся два прямых угла, что невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$.

Следовательно, из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.