Упр.1.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Пусть данная прямая a, она разбивает плоскость на две полуплоскости,
назовем эти полуплоскости m и n;
1) Пусть точка A принадлежит полуплоскости m, тогда:
AB пересекает a, значит B принадлежит n;
BC пересекает a, значит C принадлежит m;
CD пересекает a, значит D принадлежит n;
Таким образом, отрезок AD пересекает прямую a;
Ответ: пересекает.
2) Пусть точка A принадлежит полуплоскости m, тогда:
AC пересекает a, значит C принадлежит n;
BC пересекает a, значит B принадлежит m;
BD НЕ пересекает a, значит D принадлежит m;
Таким образом, отрезок AD не пересекает прямую a;
Ответ: не пересекает.
3) Пусть точка A принадлежит полуплоскости m, тогда:
AB пересекает a, значит B принадлежит n;
BC НЕ пересекает a, значит C принадлежит n;
CD пересекает a, значит D принадлежит m;
Таким образом, отрезок AD не пересекает прямую a;
Ответ: не пересекает.
4) Пусть точка A принадлежит полуплоскости m, тогда:
AB НЕ пересекает a, значит B принадлежит m;
BC пересекает a, значит C принадлежит n;
CD НЕ пересекает a, значит D принадлежит n;
Таким образом, отрезок AD пересекает прямую a;
Ответ: пересекает.
5) Пусть точка A принадлежит полуплоскости m, тогда:
AB НЕ пересекает a, значит B принадлежит m;
BC НЕ пересекает a, значит C принадлежит m;
CD НЕ пересекает a, значит D принадлежит m;
Таким образом, отрезок AD не пересекает прямую a;
Ответ: не пересекает.
6) Пусть точка A принадлежит полуплоскости m, тогда:
AC пересекает a, значит C принадлежит n;
BC пересекает a, значит B принадлежит m;
BD пересекает a, значит D принадлежит n;
Таким образом, отрезок AD пересекает прямую a;
Ответ: пересекает.
Пусть прямая $$a$$ разбивает плоскость на две полуплоскости $$m$$ и $$n$$. Если отрезок пересекает прямую $$a$$, то его концы лежат в разных полуплоскостях; если не пересекает — в одной и той же.
1) Пусть $$A \in m$$. Тогда из условия:
$$AB$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in n$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in m$$;
$$CD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in n$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях, значит, отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$a$$.
2) Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BD$$ не пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит, отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
3) Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AB$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in n$$;
$$BC$$ не пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$CD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит, отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
4) Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AB$$ не пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$CD$$ не пересекает $$a$$, значит $$D \in n$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях, значит, отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$a$$.
5) Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AB$$ не пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BC$$ не пересекает $$a$$, значит $$C \in m$$;
$$CD$$ не пересекает $$a$$, значит $$D \in m$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости, значит, отрезок $$AD$$ не пересекает прямую $$a$$.
6) Пусть $$A \in m$$. Тогда:
$$AC$$ пересекает $$a$$, значит $$C \in n$$;
$$BC$$ пересекает $$a$$, значит $$B \in m$$;
$$BD$$ пересекает $$a$$, значит $$D \in n$$.
Точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях, значит, отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$a$$.
Ответ
1) пересекает; 2) не пересекает; 3) не пересекает; 4) пересекает; 5) не пересекает; 6) пересекает.
