Упр.3.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
Доказать: середины сторон равнобедренного треугольника являются
вершинами сторон равнобедренного треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AC, тогда
AB=BC и угол BAC = углу BCA;
2) Отметим точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB, тогда:
AB1=B1 C и AC1=C1 B=A1 B=A1 C;
3) Треугольники AC1 B1 и CA1 B1 равны по первому признаку, значит
C1 B1=B1 A1, то есть треугольник A1 C1 B1-равнобедренный, что и
требовалось доказать.
2) Отобразим условие задачи:
Доказать: середины сторон равностороннего треугольника являются
вершинами сторон равностороннего треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-равносторонний треугольник с основанием, тогда
AB=BC=CA и угол BAC = углу BCA = углу CBA (по доказанному в задаче 12);
2) Отметим точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, CA и AB, тогда:
AB1=B1 C=CA1=A1 B=BC1=C1 A;
3) Треугольники B1 C1 A, B1 A1 C и C1 A1 B равны по первому признаку,
значит A1 B1=B1 C1=C1 A1, то есть треугольник A1 B1 C1-равносторонний, что и
требовалось доказать.

1) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, причём $$AB=BC$$. Обозначим через $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ середины сторон $$BC,$$ $$CA$$ и $$AB$$ соответственно.

Тогда

$$A_1B=\frac{BC}{2},\quad B_1C=\frac{CA}{2},\quad C_1A=\frac{AB}{2}.$$

Рассмотрим треугольники $$AC_1B_1$$ и $$CA_1B_1$$. У них

$$AC_1=C_1B,\quad CB_1=B_1A,$$

а также $$\angle AC_1B_1=\angle CA_1B_1$$ как углы при основании равнобедренного треугольника, поэтому эти треугольники равны по первому признаку. Следовательно,

$$C_1B_1=B_1A_1.$$

Значит, треугольник $$A_1C_1B_1$$ равнобедренный.

2) Пусть теперь $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то есть

$$AB=BC=CA,$$

и все его углы равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\angle CBA.$$

Пусть $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины сторон $$BC,$$ $$CA$$ и $$AB$$. Тогда

$$AB_1=B_1C,\quad CA_1=A_1B,\quad BC_1=C_1A.$$

Рассмотрим треугольники $$B_1C_1A,$$ $$B_1A_1C$$ и $$C_1A_1B$$. В каждом из них две стороны равны соответствующим половинам равных сторон треугольника $$ABC$$, а углы между ними равны. Следовательно, эти треугольники равны по первому признаку, откуда

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1.$$

Значит, треугольник $$A_1B_1C_1$$ равносторонний.

Ответ

1) Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника. 2) Середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.