Упр.13.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.

Рассмотрим правильный треугольник со стороной $$a$$. Для него радиус описанной окружности равен

$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$\frac{r}{R}=\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $$r=\frac{R}{2}$$, то есть у правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности.