Упр.3.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
2. Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.

1) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AB=BC$$, а $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно.

Тогда по определению середины:

$$A_1B=A_1C,\qquad B_1A=B_1C,\qquad C_1A=C_1B.$$

Рассмотрим треугольники $$AC_1B_1$$ и $$CA_1B_1$$. Имеем:

$$AC_1=C_1B,\qquad CB_1=B_1A,\qquad \angle AC_1B_1=\angle B_1CA_1$$

как соответствующие углы при равных сторонах равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники $$AC_1B_1$$ и $$CA_1B_1$$ равны по первому признаку.

Отсюда

$$C_1B_1=B_1A_1.$$

Значит, треугольник $$A_1C_1B_1$$ равнобедренный.

2) Пусть теперь $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — середины его сторон.

Тогда

$$AB=BC=CA,$$

а также

$$\angle BAC=\angle BCA=\angle CBA.$$

Из свойств середин сторон получаем:

$$A_1B=A_1C,\qquad B_1A=B_1C,\qquad C_1A=C_1B.$$

Рассмотрим треугольники $$B_1C_1A$$, $$B_1A_1C$$ и $$C_1A_1B$$. Они равны по первому признаку, так как у них попарно равны соответствующие стороны и углы между ними.

Следовательно,

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1.$$

Значит, треугольник $$A_1B_1C_1$$ равносторонний.

Ответ

Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника, а середины сторон равностороннего треугольника — вершинами равностороннего треугольника.