Вопрос 18 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают окружность, равен полуразности двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключённые между сторонами данного угла.
Пусть вершина $$B$$ угла $$ABC$$ лежит вне окружности, а лучи $$BA$$ и $$BC$$ пересекают окружность в точках $$K$$ и $$D$$ соответственно.
Тогда углы $$\angle ADC$$ и $$\angle AKD$$ — вписанные, поэтому
$$\angle ADC=\frac12\angle AOC,\qquad \angle AKD=\frac12\angle KOD.$$
Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Угол $$\angle ADC$$ является внешним углом этого треугольника, значит
$$\angle ADC=\angle BAD+\angle ABD.$$
Отсюда
$$\angle ABD=\angle ADC-\angle BAD.$$
Но $$\angle BAD=\angle AKD$$, так как они опираются на одну и ту же дугу $$AD$$. Тогда
$$\angle ABC=\angle ABD=\angle ADC-\angle AKD.$$
Подставляя найденные выражения для вписанных углов, получаем
$$\angle ABC=\frac12\angle AOC-\frac12\angle KOD=\frac12\left(\angle AOC-\angle KOD\right).$$
Следовательно, угол, вершина которого лежит вне окружности и стороны которого пересекают окружность, равен половине разности двух центральных углов, соответствующих дугам, заключённым между сторонами этого угла.
