Вопрос 18 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что абсолютная величина вектора $$\lambda\vec a$$ равна $$|\lambda|\cdot|\vec a|$$, направление вектора $$\lambda\vec a$$ при $$\vec a\ne0$$ совпадает с направлением вектора $$\vec a$$, если $$\lambda>0$$, и противоположно направлению вектора $$\vec a$$, если $$\lambda<0$$.
Пусть $$\vec a=(a_1,a_2)$$, тогда $$|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$$
При умножении вектора на число $$\lambda$$ получаем
$$\lambda \vec a=(\lambda a_1,\lambda a_2).$$
Тогда его длина равна
$$|\lambda \vec a|=\sqrt{(\lambda a_1)^2+(\lambda a_2)^2}=\sqrt{\lambda^2(a_1^2+a_2^2)}=|\lambda|\sqrt{a_1^2+a_2^2}=|\lambda|\cdot|\vec a|.$$
Осталось установить направление.
Если $$\lambda>0,$$ то координаты вектора $$\lambda \vec a$$ имеют те же знаки, что и координаты вектора $$\vec a,$$ значит, эти векторы сонаправлены.
Если $$\lambda<0,$$ то координаты вектора $$\lambda \vec a$$ имеют противоположные знаки, следовательно, векторы $$\vec a$$ и $$\lambda \vec a$$ противоположно направлены.
Таким образом, $$|\lambda \vec a|=|\lambda|\cdot|\vec a|,$$ а направление вектора $$\lambda \vec a$$ при $$\vec a\neq \vec 0$$ совпадает с направлением $$\vec a$$ при $$\lambda>0$$ и противоположно ему при $$\lambda<0.$$
