Упр.9.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то: 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный.

Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$a$$. Рассмотрим отражение относительно прямой $$a$$.

Пусть вершина $$A$$ переходит в вершину $$B$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

Докажем, что $$a$$ проходит через одну из вершин треугольника.

Предположим, что прямая $$a$$ не проходит ни через одну вершину треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$C$$ переходит в некоторую точку $$C’$$. Так как отражение сохраняет перпендикулярность, то $$CC’ \perp a$$, а также $$AB \perp a$$, значит $$CC’ \parallel AB$$.

Но точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$, следовательно и точка $$C’$$ не лежит на $$AB$$. Тогда $$C’$$ должна лежать на одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$. Получается, что у треугольника есть две параллельные стороны, что невозможно. Значит, наше предположение неверно, и прямая $$a$$ проходит через вершину $$C$$.

Теперь докажем, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Пусть $$O$$ — точка пересечения прямой $$a$$ с отрезком $$AB$$. Тогда $$AO=OB$$ и $$CO \perp AB$$. Следовательно, прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к основанию $$AB$$, а точка $$C$$ лежит на этой прямой.

Значит, $$CO$$ одновременно является медианой и высотой треугольника $$ABC$$. Треугольник, у которого медиана, проведённая к стороне, является также высотой, равнобедренный. Следовательно, $$AB=BC$$ или $$AB=AC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ: ось симметрии треугольника проходит через одну из его вершин; треугольник равнобедренный.