Вопрос 18 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку.

Введём на плоскости декартовы координаты. Пусть точка $$A$$ имеет координаты $$\left(a_1,a_2\right)$$, а точка $$A’$$ — координаты $$\left(a_1′,a_2’\right)$$.

Тогда параллельный перенос, заданный формулами

$$x’=x+a_1′-a_1,\qquad y’=y+a_2′-a_2,$$

переводит точку $$A$$ в точку $$A’$$, так как при $$x=a_1$$ и $$y=a_2$$ получаем $$x’=a_1’$$ и $$y’=a_2’$$.

Докажем единственность такого переноса. Пусть произвольная точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$ при некотором параллельном переносе. Тогда

$$AA’ \parallel XX’,\qquad AA’=XX’.$$

Следовательно, четырёхугольник $$AA’X’X$$ — параллелограмм. Его диагонали $$AX’$$ и $$A’X$$ пересекаются и делятся пополам в одной и той же точке $$O$$.

Если точка $$X$$ задана, то точка $$O$$ однозначно определяется как середина отрезка $$A’X$$. Тогда точка $$X’$$ тоже определяется однозначно, поскольку $$O$$ является серединой отрезка $$AX’$$.

Значит, каждой точке $$X$$ соответствует единственная точка $$X’$$, а следовательно, параллельный перенос, переводящий $$A$$ в $$A’$$, единственен.

Ответ: существует один и только один параллельный перенос, переводящий точку $$A$$ в точку $$A’$$.