Упр.15.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

1) отрезок АВ, если АА1 = а, ВВ1 = b, А1В1 = с и двугранный угол равен а; 2) двугранный угол а, если АА1 = 3,ВВ1 = 4,АуВу = 6,АВ = 7.
Дано: из точек A и B, лежащих в гранях двугранного угла, опущены
перпендикуляры AA1 и BB1 на ребро угла; двугранный угол равен ?;
AA1=a; BB1=b; A1 B1=c;
Найти: длину отрезка AB;
Решение:
1) Подвергнем отрезок BB1 параллельному переносу, при котором
точка B1 совместится с точкой A1,тогда точка B перейдет в некоторую
точку B2,значит по свойству параллельного переноса:
B2 A1=BB1=b и BB2=B1 A1=c;
2) По определению градусной меры двугранного угла: угол AA1 B2 = Альфа;
3) В треугольнике AA1 B2 по теореме косинусов:
AB2^2=AA1^2+B2 A1^2-2AA1•B2 B1•cos угла AA1 B2 ;
AB2^2=a^2+b^2-2ab•cosАльфа;
4) В прямоугольном треугольнике AB2 B по теореме Пифагора:
AB=v(AB2^2+BB2^2 )=v(a^2+b^2+c^2-2ab•cosАльфа);
Ответ: v(a^2+b^2+c^2-2ab•cosАльфа).

Подробный ответ

1) Перенесём отрезок $$BB_1$$ параллельно так, чтобы точка $$B_1$$ совместилась с точкой $$A_1$$. Тогда точка $$B$$ перейдёт в точку $$B_2$$, причём по свойству параллельного переноса

$$B_2A_1=BB_1=b,\qquad B_1B_2=A_1B_1=c.$$

2) По определению градусной меры двугранного угла имеем

$$\angle AA_1B_2=\alpha.$$

3) В треугольнике $$AA_1B_2$$ по теореме косинусов:

$$ AB_2^2=AA_1^2+A_1B_2^2-2\cdot AA_1\cdot A_1B_2\cos\angle AA_1B_2 $$

$$ AB_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha. $$

4) Треугольник $$BB_2A$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора

$$ AB^2=AB_2^2+BB_2^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha. $$

Следовательно,

$$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}.$$

5) Теперь найдём двугранный угол. После переноса $$BB_1$$ получаем $$B_2A_1=BB_1=4$$ и $$B_1B_2=A_1B_1=6$$. В прямоугольном треугольнике $$AB_2B_1$$:

$$ AB_2=\sqrt{AB^2-B_2B_1^2}=\sqrt{7^2-6^2}=\sqrt{13}. $$