Упр.6.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$BC$$, а $$F$$ — середина стороны $$AD$$. Докажите, что четырёхугольник $$BEDF$$ — параллелограмм.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$BC=AD$$ и $$BC\parallel AD$$.

Точки $$E$$ и $$F$$ — середины отрезков $$BC$$ и $$AD$$, значит

$$BE=\frac{1}{2}BC,\qquad DF=\frac{1}{2}AD.$$

Поскольку $$BC=AD$$, получаем

$$BE=DF.$$

Отрезок $$EF$$ соединяет середины боковых сторон трапеции с основаниями $$BC$$ и $$AD$$, поэтому в четырёхугольнике $$BEDF$$ стороны $$BE$$ и $$DF$$ равны и параллельны соответствующим сторонам параллелограмма $$ABCD$$:

$$BE\parallel DF.$$

Кроме того, из параллелограмма $$ABCD$$ имеем $$BD\parallel AC$$, а значит, при рассмотрении треугольников $$ABF$$ и $$CED$$ получаем равенство по двум сторонам и углу между ними:

$$AB=CD,\quad AF=CE,\quad \angle BAF=\angle DCE.$$

Следовательно, $$\triangle ABF\cong \triangle CED$$, откуда

$$BF=ED.$$

Итак, в четырёхугольнике $$BEDF$$ обе пары противоположных сторон равны:

$$BE=DF,\qquad BF=ED.$$

Значит, $$BEDF$$ — параллелограмм.