Упр.11.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: прямая, параллелльная стороне AB треугольника ABC, делит
его сторону AC в отношении m:n, считая от вершины C;
Найти: в каком отношении эта прямая делит сторону BC;
Решение:
1) Пусть данная прямая пересекает сторону AC в точке A1, а сторону
BC-в точке B1, тогда: (CA1)/(A1 A)=m/n;
2) Углы CAB и CA1 B1 равны как соответственные углы при параллельных
прямых AB и A1 B1 и секущей AC;
3) треугольник ABC~треугольник A1 B1 C по двум углам (угол C-общий).

Подробный ответ

Пусть прямая пересекает $$AC$$ в точке $$A_1$$, а $$BC$$ — в точке $$B_1$$. По условию

$$\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n}.$$

Так как $$A_1B_1 \parallel AB$$, то углы $$\angle CAB$$ и $$\angle CA_1B_1$$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $$AC$$. Кроме того, угол $$C$$ — общий.

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{CA}{CA_1}=\frac{CB}{CB_1}.$$

Из равенства $$CA=CA_1+A_1A$$ получаем

$$\frac{CA_1+A_1A}{CA_1}=\frac{CB_1+B_1B}{CB_1}.$$

Отсюда

$$1+\frac{A_1A}{CA_1}=1+\frac{B_1B}{CB_1},$$

значит,

$$\frac{B_1B}{CB_1}=\frac{A_1A}{CA_1}.$$

Но

$$\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n},$$

поэтому

$$\frac{B_1B}{CB_1}=\frac{n}{m}.$$