Упр.5.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 5-17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник.

Проведём биссектрисы $$AA_1$$ и $$CC_1$$. Они пересекутся в точке $$O$$, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

Так как треугольник равносторонний, то его биссектрисы одновременно являются медианами и высотами. Значит, $$AA_1$$ и $$CC_1$$ — серединные перпендикуляры к сторонам $$CB$$ и $$AB$$.

Точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника, следовательно, $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Итак, центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности.