Упр.15.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Из точек $$A$$ и $$B$$, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ на ребро угла. Найдите:
1) отрезок $$AB$$, если $$AA_1=a$$, $$BB_1=b$$, $$A_1B_1=c$$ и двугранный угол равен $$\alpha$$;
2) двугранный угол $$\alpha$$, если $$AA_1=3$$, $$BB_1=4$$, $$A_1B_1=6$$, $$AB=7$$.
1) Подвергнем отрезок $$BB_1$$ параллельному переносу так, чтобы точка $$B_1$$ совместилась с точкой $$A_1$$. Тогда точка $$B$$ перейдёт в точку $$B_2$$, причём
$$B_2A_1=BB_1=b,\qquad B_1B_2=A_1B_1=c.$$
По определению двугранного угла $$\angle AA_1B_2=\alpha$$.
В треугольнике $$AA_1B_2$$ по теореме косинусов:
$$AB_2^2=AA_1^2+A_1B_2^2-2\cdot AA_1\cdot A_1B_2\cos\alpha$$
Но $$A_1B_2=BB_1=b$$, значит
$$AB_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha.$$
Так как $$BB_2\perp A_1B_2$$, то в прямоугольном треугольнике $$AB_2B$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=AB_2^2+BB_2^2$$
и, следовательно,
$$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}.$$
2) Теперь найдём $$\alpha$$ при $$AA_1=3$$, $$BB_1=4$$, $$A_1B_1=6$$, $$AB=7$$.
После параллельного переноса получаем $$B_2A_1=4$$ и $$B_1B_2=6$$. В прямоугольном треугольнике $$AB_2B$$:
$$AB_2=\sqrt{AB^2-BB_2^2}=\sqrt{7^2-6^2}=\sqrt{13}.$$
В треугольнике $$AA_1B_2$$ по теореме косинусов:
$$AB_2^2=AA_1^2+A_1B_2^2-2\cdot AA_1\cdot A_1B_2\cos\alpha.$$
Подставим значения:
$$13=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cos\alpha,$$
$$13=25-24\cos\alpha,$$
$$24\cos\alpha=12,\qquad \cos\alpha=\frac12.$$
Значит,
$$\alpha=60^\circ.$$
Ответ
1) $$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}$$; 2) $$\alpha=60^\circ$$.
