Упр.12.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle C$$ — тупой, то есть $$\angle C>90^\circ$$.

По теореме о сумме углов треугольника

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$\angle C>90^\circ$$, то сумма двух остальных углов меньше $$90^\circ$$. Значит, каждый из углов $$\angle A$$ и $$\angle B$$ меньше $$90^\circ$$, а следовательно, $$\angle C$$ — наибольший угол треугольника.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Поэтому стороне $$AB$$, лежащей против угла $$\angle C$$, соответствует наибольшая длина:

$$AB>BC,\qquad AB>AC.$$

Следовательно, противолежащая тупому углу сторона является наибольшей, что и требовалось доказать.