Вопрос 17 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: угол, вершина которого лежит внутри окружности, равен
полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги
окружности, заключенные между сторонами данного угла и их
продолжениями;
Доказательство:
1) Пусть вершина B угла ABC лежит внутри окружности;
2) Отметим точку D на пересечении окружности и продолжения луча BC;
3) Отметим точку K на пересечении окружности и продолжения луча BA;
4) Углы BAD и ADB-вписаны в окружность, следовательно:
угол DAB=1/2 угол DOK и угол ADB=1/2 угол AOC;
5) Угол ABC является внешним углом треугольника ABD, поэтому:
угол ABC = углу BAD+ угол ADB=1/2 (угол DOK+ угол AOC), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть вершина $$B$$ угла $$ABC$$ лежит внутри окружности. Продолжим лучи $$BA$$ и $$BC$$ до пересечения с окружностью в точках $$K$$ и $$D$$ соответственно.

Тогда углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ADB$$ — вписанные, поэтому

$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle DOK,\qquad \angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Угол $$\angle ABC$$ является внешним углом треугольника $$ABD$$, значит

$$\angle ABC=\angle BAD+\angle ADB.$$

Подставим найденные выражения:

$$ \angle ABC=\frac{1}{2}\angle DOK+\frac{1}{2}\angle AOC =\frac{1}{2}\left(\angle DOK+\angle AOC\right). $$

Следовательно, угол с вершиной внутри окружности равен полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги, заключённые между сторонами данного угла и их продолжениями.