Упр.11.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, делит его сторону $$AC$$ в отношении $$m:n$$, считая от вершины $$C$$. В каком отношении она делит сторону $$BC$$?

Пусть прямая, параллельная $$AB$$, пересекает $$AC$$ в точке $$A_1$$, а $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Тогда по условию

$$\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n}.$$

Так как $$A_1B_1 \parallel AB$$, то

$$\angle CAB=\angle CA_1B_1,$$

а угол $$C$$ — общий. Следовательно,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C.$$

Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{CA}{CA_1}=\frac{CB}{CB_1}.$$

Но $$CA=CA_1+A_1A$$, значит

$$\frac{CA_1+A_1A}{CA_1}=\frac{CB_1+B_1B}{CB_1}.$$

Отсюда

$$1+\frac{A_1A}{CA_1}=1+\frac{B_1B}{CB_1},$$

то есть

$$\frac{A_1A}{CA_1}=\frac{B_1B}{CB_1}.$$

Следовательно,

$$\frac{CB_1}{B_1B}=\frac{CA_1}{A_1A}=\frac{m}{n}.$$

Значит, прямая делит сторону $$BC$$ в отношении $$m:n$$, считая от вершины $$B$$.

Ответ: $$m:n$$.