Вопрос 17 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что угол, вершина которого лежит внутри окружности, равен полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключённые между сторонами данного угла и их продолжениями.
Пусть вершина $$B$$ угла $$ABC$$ лежит внутри окружности. Продолжим лучи $$BA$$ и $$BC$$ до пересечения с окружностью в точках $$K$$ и $$D$$ соответственно.
Тогда углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ADB$$ — вписанные, поэтому они выражаются через соответствующие центральные углы:
$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle DOK,\qquad \angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOC.$$
Угол $$\angle ABC$$ является внешним углом треугольника $$ABD$$, значит,
$$\angle ABC=\angle BAD+\angle ADB.$$
Подставим найденные выражения:
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle DOK+\frac{1}{2}\angle AOC =\frac{1}{2}\bigl(\angle DOK+\angle AOC\bigr).$$
Следовательно, угол, вершина которого лежит внутри окружности, равен полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключённые между сторонами данного угла и их продолжениями.
