Упр.9.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника,
провеенную к его основанию, является осью симметрии треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AB и
CM-его медиана, тогда: AM=MB;
2) Медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой
и высотой, значит: угол ACM = углу CBM и AB перпендикулярен CM;
3) Так как AB перпендикулярен CM и AM=MB, то точки A и B симметричны
относительно прямой CM;
4) Значит любая точка X отрезка AB симметрична какой-нибудь другой
его точке X’ относительно CM, так как все эти точки лежат на одном
перпендикуляре к прямой CM, а отрезки XM < AM и X' M < BM; 5) Так как прямая CM является биссектрисой угла C, то стороны AC и CB симметричны относительно этой прямой(доказано в предыдущей задаче); 6) Таким образом, каждая точка треугольника ABC симметрична какой-нибудь другой его точке относительно медианы, проведенной к основанию, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, а $$CM$$ — его медиана, проведённая к основанию. Тогда $$AM=MB$$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. Значит, $$\angle ACM=\angle MCB$$ и $$CM\perp AB$$.

Из равенства $$AM=MB$$ и перпендикулярности $$CM\perp AB$$ следует, что точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$CM$$.

Рассмотрим любую точку $$X$$ отрезка $$AB$$. Она лежит на прямой $$AB$$, перпендикулярной $$CM$$, поэтому при отражении относительно $$CM$$ перейдёт в некоторую точку $$X’$$ того же отрезка $$AB$$. Следовательно, весь отрезок $$AB$$ симметричен относительно прямой $$CM$$.

Кроме того, так как $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$, то стороны $$CA$$ и $$CB$$ симметричны относительно этой прямой. Значит, и весь треугольник $$ABC$$ симметричен относительно прямой $$CM$$.

Итак, прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.