Упр.7.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: стороны треугольника равны a, b и c, при этом a^2+b^2=c^2;
Доказать: угол, противолежащий стороне c-прямой;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник: AB=c, BC=a и AC=b;
2) Построим прямоугольный треугольник A1 B1 C1, у которого:
A1 C1=b, B1 C1=a и угол C1=90°;
3) Согласно теореме Пифагора:
(A1 B1)^2=(B1 C1)^2+(A1 C1)^2=a^2+b^2=c^2, значит A1 B1=AB;
4) Треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по трем сторонам, отсюда
угол C = углу C1=90°, что и требовалось докзать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$.

Построим прямоугольный треугольник $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы $$A_1C_1=b$$, $$B_1C_1=a$$ и $$\angle C_1=90^\circ$$.

По теореме Пифагора для треугольника $$A_1B_1C_1$$ получаем:

$$A_1B_1^2=A_1C_1^2+B_1C_1^2=b^2+a^2=c^2.$$

Следовательно, $$A_1B_1=c=AB$$.

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Значит, эти треугольники равны по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны, поэтому

$$\angle C=\angle C_1=90^\circ.$$

Следовательно, угол, противолежащий стороне $$c$$, прямой.