Упр.14.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Разделить: данный параллелограмм на три равновеликие части
прямыми, проходящими через одну вершину;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный данный параллелограмм.
2) По свойству параллелограмма: AB=CD и AD=BC;
3) Треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам, значит они имеют
равные площади;
4) Параллелограмм ABCD состоит из этих треугольников, значит:
SABCD=SABC+SCDA, отсюда SABC=SCDA=1/2 SABCD;
5) На луче CA от точки C последовательно отложим три равных
отрезка CC1, C1 C2 и C2 C3 произвольной длины;
6) Проведем прямую C3 B и параллельные ей прямые, проходящие через
точки C2 и C1, отметим точки B1 и B2 на пересечении этих прямых и
стороны BC;
7) По теореме о пропорциональных отрезках: BB2=B2 B1=B1 C;
8) Треугольники BAB2, B2 AB1 и B1 AC имеют общую высоту, опущенную
из вершины A на прямую BC, следовательно их площади равны:
S(BAB2 )=S(B2 AB1 )=S(B1 AC)=1/2•1/3 BC•AH1=1/3 SABC=1/6 SABCD;
9) Проведем прямую C3 D и параллельные ей прямые, проходящие через
точки C2 и C1, отметим точки D1 и D2 на пересечении этих прямых и
стороны DC;
10) По теореме о пропорциональных отрезках: DD2=D2 D1=D1 C;
11) Треугольники DAD2, D2 AD1 и D1 AC имеют общую высоту, опущенную
из вершины A на прямую DC, следовательно их площади равны:
S(DAD2 )=S(D2 AD1 )=S(D1 AC)=1/2•1/3 DC•AH2=1/3 SADC=1/6 SABCD;
12) Таким образом:
S(ABB1 )=S(BAB2 )+S(B2 AB1 )=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD;
S(AB1 CD1 )=S(AB1 C)+S(AD1 C)=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD;
S(AD1 D)=S(AD1 D2 )+S(AD1 D)=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD;
13) Прямые AB1 и AD1-искомые

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм.

По свойству параллелограмма $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по трём сторонам, значит, их площади равны:

$$S_{ABC}=S_{CDA}=\frac12 S_{ABCD}.$$

На луче $$CA$$ от точки $$C$$ последовательно отложим три равных отрезка $$CC_1$$, $$C_1C_2$$ и $$C_2C_3$$ произвольной длины.

Проведём прямую $$C_3B$$ и через точки $$C_2$$ и $$C_1$$ проведём прямые, параллельные ей. Они пересекут сторону $$BC$$ в точках $$B_2$$ и $$B_1$$.

По теореме о пропорциональных отрезках получаем:

$$BB_2=B_2B_1=B_1C.$$

Треугольники $$BAB_2$$, $$B_2AB_1$$ и $$B_1AC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому их площади относятся как основания:

$$S_{BAB_2}=S_{B_2AB_1}=S_{B_1AC}=\frac13 S_{ABC}=\frac16 S_{ABCD}.$$

Аналогично, проведя через точки $$C_2$$ и $$C_1$$ прямые, параллельные $$C_3D$$, и обозначив точки пересечения со стороной $$DC$$ через $$D_2$$ и $$D_1$$, получаем:

$$DD_2=D_2D_1=D_1C,$$

а значит,

$$S_{DAD_2}=S_{D_2AD_1}=S_{D_1AC}=\frac13 S_{ADC}=\frac16 S_{ABCD}.$$

Теперь найдём площади трёх частей:

$$S_{ABB_1}=S_{BAB_2}+S_{B_2AB_1}=2\cdot \frac16 S_{ABCD}=\frac13 S_{ABCD},$$

$$S_{AB_1CD_1}=S_{AB_1C}+S_{AD_1C}=2\cdot \frac16 S_{ABCD}=\frac13 S_{ABCD},$$

$$S_{AD_1D}=S_{AD_1D_2}+S_{AD_1D}=2\cdot \frac16 S_{ABCD}=\frac13 S_{ABCD}.$$

Следовательно, прямые $$AB_1$$ и $$AD_1$$ делят параллелограмм на три равновеликие части.