Вопрос 16 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$D$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, а $$ED$$ — средняя линия треугольника.

Проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$. Она пересечёт сторону $$AC$$ в точке $$F$$. Тогда по теореме Фалеса, так как $$D$$ — середина $$BC$$, точка $$F$$ делит $$AC$$ пополам, то есть $$AF=FC$$. Значит, $$F$$ — середина стороны $$AC$$.

Теперь четырёхугольник $$AEDF$$ имеет попарно параллельные стороны: $$AE \parallel DF$$ и $$ED \parallel AF$$. Следовательно, $$AEDF$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны:

$$ED=AF.$$

Но $$AF$$ — половина стороны $$AB$$, значит

$$ED=\frac{1}{2}AB.$$

Итак, средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.