Упр.5.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных $$MP$$ и $$MQ$$ равны.
- Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
Пусть из точки $$M$$ к окружности проведены касательные $$MP$$ и $$MQ$$, а $$O$$ — центр окружности.
Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то
$$\angle OPM=90^\circ,\qquad \angle OQM=90^\circ.$$
Кроме того, $$OP=OQ$$ как радиусы одной окружности, а $$OM$$ — общая гипотенуза треугольников $$OPM$$ и $$OQM$$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $$OPM$$ и $$OQM$$ равны по гипотенузе и катету. Значит, соответствующие стороны равны:
$$MP=MQ.$$
Докажем теперь, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
Предположим, что через точку $$M$$ можно провести три касательные к окружности в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Тогда по уже доказанному
$$MA=MB=MC.$$
Но множество точек, равноудалённых от $$M$$ на расстояние $$MA$$, образует окружность с центром в точке $$M$$. Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной окружности с центром в $$M$$. Тогда эта окружность и данная окружность имеют три общие точки, что невозможно.
Следовательно, через одну точку можно провести не более двух касательных к окружности.
