Упр.11.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 16. В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах (рис. 257). Вычислите сторону квадрата.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Пусть $$BC=a$$ — основание треугольника, а $$AH=h$$ — его высота.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AHC$$ и $$FEC$$. У них общий острый угол при вершине $$C$$, значит, они подобны. Тогда

$$\frac{AH}{FE}=\frac{HC}{EC}$$

Так как $$FE=x$$, получаем

$$\frac{h}{x}=\frac{HC}{EC}, \qquad HC=\frac{h}{x}\,EC.$$

Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $$AHB$$ и $$GDB$$. Они подобны, поэтому

$$\frac{AH}{GD}=\frac{HB}{DB}$$

Отсюда, учитывая, что $$GD=x$$, имеем

$$\frac{h}{x}=\frac{HB}{DB}, \qquad HB=\frac{h}{x}\,DB.$$

Сложим полученные равенства:

$$HC+HB=\frac{h}{x}(EC+DB).$$

Но $$HC+HB=BC=a$$, а $$EC+DB=BC-DE=a-x$$, так как $$DE=x$$. Тогда

$$a=\frac{h}{x}(a-x).$$

Умножим на $$x$$:

$$ax=h(a-x)$$

$$ax=ah-xh$$

$$ax+xh=ah$$

$$x(a+h)=ah.$$

Следовательно,

$$x=\frac{ah}{a+h}.$$

Ответ

$$\frac{ah}{a+h}$$