Вопрос 16 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: средняя линия треугольника равна половине соответству-
ющей стороны;
1) Пусть ABC-данные треугольник, а DE-средняя линия при соответствующей стороне AB, тогда AE=EC и BD=DC;
2) Проведем через точку D прямую, параллельную стороне AB, по
теореме Фалеса она разобьет сторону AC на два равных отрезка (так
как CD=DB), значит средняя линия треугольника лежит на прямой,
параллельной ее соответствующей стороне;
3) Проведем среднюю линию DF, она параллельна стороне AC и
AF=FB=1/2 AB;
4) Четырехугольник AEDF-параллелограмм, по свойству параллелограмма ED=AF, то есть ED=1/2 AB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$D$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, то есть $$AE=EC$$ и $$BD=DC$$. Тогда отрезок $$ED$$ — средняя линия треугольника.

Проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$. По теореме Фалеса она пересечёт сторону $$AC$$ в её середине, то есть в точке $$E$$. Значит, $$ED \parallel AB$$.

Теперь проведём через точку $$E$$ прямую, параллельную стороне $$BC$$. Она пересечёт сторону $$AB$$ в точке $$F$$, причём $$AF=FB$$, то есть $$F$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда четырёхугольник $$AEDF$$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны равны:

$$ED=AF.$$

Так как $$F$$ — середина $$AB$$, то

$$AF=\frac{1}{2}AB.$$

Следовательно,

$$ED=\frac{1}{2}AB.$$

Итак, средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.