Упр.15.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Расстояния от точки $$A$$ до вершин квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна $$b$$.
Пусть $$MKNF$$ — данный квадрат, а $$O$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость квадрата. Тогда
$$AM=AK=AN=AF=a,$$
а треугольники $$AOM$$, $$AOK$$, $$AON$$ и $$AOF$$ прямоугольные и равны по гипотенузе и катету $$AO$$. Значит,
$$MO=KO=NO=FO.$$
Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин квадрата, то есть является центром описанной около него окружности. Тогда радиус этой окружности равен половине диагонали квадрата:
$$MO=\frac{b\sqrt{2}}{2}=\frac{b}{\sqrt{2}}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOM$$ по теореме Пифагора:
$$AO^2=AM^2-MO^2 \\\\ AO^2=a^2-\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2=a^2-\frac{b^2}{2}.$$
Значит, расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата равно
$$AO=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$
Ответ
$$\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}$$
