Упр.14.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Решите предыдущую задачу для параллелограмма. Разделите данный параллелограмм на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм.
По свойству параллелограмма $$AB=CD$$ и $$AD=BC$$, поэтому треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по трём сторонам. Следовательно, их площади равны:
$$S_{ABC}=S_{CDA}=\frac12 S_{ABCD}.$$
На луче $$CA$$ от точки $$C$$ последовательно отложим три равных отрезка $$CC_1$$, $$C_1C_2$$ и $$C_2C_3$$ произвольной длины. Проведём прямую $$C_3B$$ и через точки $$C_2$$ и $$C_1$$ — прямые, параллельные ей. Они пересекут сторону $$BC$$ в точках $$B_2$$ и $$B_1$$.
По теореме о пропорциональных отрезках получаем:
$$BB_2=B_2B_1=B_1C.$$
Треугольники $$BAB_2$$, $$B_2AB_1$$ и $$B_1AC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, значит их площади относятся как соответствующие основания. Так как $$BB_2=B_2B_1=B_1C$$, то
$$S_{BAB_2}=S_{B_2AB_1}=S_{B_1AC}=\frac13 S_{ABC}=\frac16 S_{ABCD}.$$
Аналогично, проведём прямую $$C_3D$$ и через точки $$C_2$$ и $$C_1$$ — прямые, параллельные ей. Они пересекут сторону $$DC$$ в точках $$D_2$$ и $$D_1$$. Тогда
$$DD_2=D_2D_1=D_1C,$$
и потому
$$S_{DAD_2}=S_{D_2AD_1}=S_{D_1AC}=\frac13 S_{ADC}=\frac16 S_{ABCD}.$$
Теперь найдём площади трёх частей:
$$S_{ABB_1}=S_{BAB_2}+S_{B_2AB_1}=2\cdot \frac16 S_{ABCD}=\frac13 S_{ABCD},$$
$$S_{AB_1CD_1}=S_{AB_1C}+S_{AD_1C}=2\cdot \frac16 S_{ABCD}=\frac13 S_{ABCD},$$
$$S_{AD_1D}=S_{AD_1D_2}+S_{AD_1D}=2\cdot \frac16 S_{ABCD}=\frac13 S_{ABCD}.$$
Следовательно, прямые $$AB_1$$ и $$AD_1$$ делят данный параллелограмм на три равновеликие части.
