Вопрос 16 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности.
Рассмотрим две произвольные окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$ и длинами $$l_1$$ и $$l_2$$.
Предположим, что отношение длины окружности к её диаметру зависит от окружности. Тогда можно считать, что, например,
$$\frac{l_1}{2R_1}<\frac{l_2}{2R_2}.$$
Впишем в обе окружности правильные многоугольники с большим числом сторон $$n$$. При достаточно большом $$n$$ периметры этих многоугольников мало отличаются от длин соответствующих окружностей, поэтому неравенство сохранится:
$$\frac{p_1}{2R_1}<\frac{p_2}{2R_2}.$$
Но для правильных многоугольников периметр пропорционален радиусу описанной окружности, значит
$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{R_1}{R_2},$$
откуда
$$\frac{p_1}{2R_1}=\frac{p_2}{2R_2}.$$
Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности.
Ответ
Отношение $$\frac{l}{d}$$ для любой окружности одно и то же.
