Вопрос 16 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от
окружности, то есть одно и то же для любых окружностей;
Доказательство:
1) Возьмем две произвольные окружности, пусть R1 и R2-их радиусы,
а l1 и l2-их длины;
2) Допустим, что утверждение теоремы неверно и l1/(2R1)=/=l2/(2R2), например:
l1/(2R1) < l2/(2R2) (*); 3) Впишем в окружности многоугольники с большим числом сторон n; 4) Если число n очень велико, то длины окружностей будут очень мало отличаться от периметров p1 и p2 вписанных многоугольников, поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить l1 на p1 и l2 на p2: p1/(2R1) < p2/(2R2) (**); 5) Радиусы описанных около правильных многоугольников окружностей зависят от длины их стороны, значит периметры правильных выпуклых n-угольников соотносятся как радиусы описанных окружностей: p1/p2 =R1/R2 , отсюда p1/R1 =p2/R2 ; 6) Это противоречит неравенству (**), значит наше допущение неверно и отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от самой окружности, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим две произвольные окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$ и длинами $$l_1$$ и $$l_2$$.

Предположим, что отношение длины окружности к её диаметру зависит от окружности. Тогда, например, можно считать, что

$$\frac{l_1}{2R_1} < \frac{l_2}{2R_2}.$$

Впишем в обе окружности правильные многоугольники с большим числом сторон $$n$$. При достаточно большом $$n$$ периметры вписанных многоугольников $$p_1$$ и $$p_2$$ будут сколь угодно мало отличаться от длин окружностей $$l_1$$ и $$l_2$$, поэтому неравенство сохранится:

$$\frac{p_1}{2R_1} < \frac{p_2}{2R_2}.$$

Но периметры правильных многоугольников пропорциональны радиусам описанных около них окружностей, то есть

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{R_1}{R_2},$$

откуда

$$\frac{p_1}{R_1}=\frac{p_2}{R_2}.$$

Это противоречит полученному неравенству. Значит, наше предположение неверно.

Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности.