Упр.12.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Объясните, как найти высоту $$x$$ маяка (рис. 274) по углам $$\alpha$$ и $$\beta$$ и расстоянию $$a$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$.

Так как точки $$C, A, B$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle CAD$$ и $$\angle BAD$$ смежные, значит

$$\angle BAD=180^\circ-\alpha.$$

По теореме о сумме углов треугольника $$ABD$$ получаем:

$$\angle ADB=180^\circ-\angle BAD-\angle ABD.$$

Так как $$\angle ABD=\beta$$, то

$$\angle ADB=180^\circ-(180^\circ-\alpha)-\beta=\alpha-\beta.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABD$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle ADB}=\frac{AD}{\sin \angle ABD}.$$

Отсюда

$$AD=\frac{AB\cdot \sin \angle ABD}{\sin \angle ADB}=\frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. В нём

$$\sin \angle CAD=\frac{CD}{AD},$$

то есть

$$CD=AD\sin \alpha.$$

Подставим найденное значение $$AD$$:

$$x=CD=\frac{a\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}\cdot \sin \alpha=\frac{a\sin \alpha\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$

Ответ

$$x=\frac{a\sin \alpha\sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}.$$