Упр.11.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В треугольник с основанием $$a$$ и высотой $$h$$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах (рис. 257). Вычислите сторону квадрата.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда высота треугольника равна $$h$$, а основание — $$a$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные квадратом и сторонами треугольника. Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{h}{x}=\frac{HC}{EC}, \qquad \frac{h}{x}=\frac{HB}{DB}.$$

Сложим эти равенства в виде соответствующих отрезков на основании:

$$HC+HB=\frac{h}{x}(EC+DB).$$

Но $$HC+HB=BC=a$$, а $$EC+DB=BC-DE=a-x$$, так как $$DE= x$$ — сторона квадрата.

Тогда

$$a=\frac{h}{x}(a-x).$$

Умножим на $$x$$:

$$ax=h(a-x),$$
$$ax=ah-hx,$$
$$ax+hx=ah,$$
$$x(a+h)=ah.$$

Следовательно,

$$x=\frac{ah}{a+h}.$$

Ответ: $$\frac{ah}{a+h}$$.