Вопрос 16 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

Пусть $$\angle ABC$$ — вписанный угол, а луч $$BA$$ проходит через центр $$O$$ окружности. Тогда $$OA=OB$$ как радиусы, значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, и

$$\angle ABO=\angle OAB.$$

Обозначим центральный угол, соответствующий дуге $$AC$$, через $$\angle AOC$$. Тогда

$$\angle AOC=180^\circ-2\angle ABO,$$

а так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle AOC=180^\circ-\angle AOB.$$

Следовательно,

$$2\angle ABC=\angle AOC,$$

то есть

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Теперь рассмотрим общий случай. Проведём через центр $$O$$ диаметр $$BD$$. Тогда по уже доказанному:

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOD,$$

$$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle DOC.$$

Так как $$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC,$$ получаем

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOD+\frac{1}{2}\angle DOC =\frac{1}{2}(\angle AOD+\angle DOC) =\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Итак, вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.