Упр.6.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: разность двух углов параллелограмма равна: 1) 70°; 2) 110°;
3) 140°;
Найти: все углы параллелограмма;
Решение:
Пусть ABCD-данный параллелограмм;
Так как противолежащие углы параллелограмма равны, то нам дана
разность соседних углов;
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180° (как внутренних
односторонних углов при параллельных прямых и секущей);
Пусть дана разность углов A и B (угол B > угол A), тогда:
угол B=180°- угол A;
угол B- угол A=180°- угол A- угол A;
угол B- угол A=180°-2угол A;
2угол A=180°-(угол B- угол A), отсюда угол C = углу A=(180°-(угол B- угол A))/2;
угол D = углу B=180°- угол A;
1) угол A- угол B=70°, тогда:
угол A = углу C=(180°-70°)/2=55° и угол D = углу B=180°-55°=125°;
2) угол A- угол B=110°, тогда:
угол A = углу C=(180°-110°)/2=35° и угол D = углу B=180°-35°=145°;
3) угол A- угол B=140°, тогда:
угол A = углу C=(180°-140°)/2=20° и угол D = углу B=180°-20°=160°;

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм. В параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$.

Пусть разность соседних углов равна $$x$$, причём $$\angle B > \angle A$$. Тогда

$$ \angle A+\angle B=180^\circ, \\ \angle B-\angle A=x. $$

Сложим эти равенства:

$$ 2\angle B=180^\circ+x, $$

откуда

$$ \angle B=\frac{180^\circ+x}{2}, \qquad \angle A=\frac{180^\circ-x}{2}. $$

Так как $$\angle A=\angle C$$ и $$\angle B=\angle D$$, то найдём все углы параллелограмма.

1) При $$x=70^\circ$$:

$$ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ, \qquad \angle B=\angle D=180^\circ-55^\circ=125^\circ. $$

2) При $$x=110^\circ$$:

$$ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-110^\circ}{2}=35^\circ, \qquad \angle B=\angle D=180^\circ-35^\circ=145^\circ. $$

3) При $$x=140^\circ$$:

$$ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ, \qquad \angle B=\angle D=180^\circ-20^\circ=160^\circ. $$

Ответ

1) $$55^\circ, 125^\circ, 55^\circ, 125^\circ$$; 2) $$35^\circ, 145^\circ, 35^\circ, 145^\circ$$; 3) $$20^\circ, 160^\circ, 20^\circ, 160^\circ$$.