Упр.9.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Пусть дан угол с вершиной $$O$$, а прямая $$l$$ содержит его биссектрису $$OM$$. Возьмём на одной стороне угла произвольную точку $$A$$ и опустим из неё перпендикуляр $$AM$$ на биссектрису $$OM$$. Обозначим через $$B$$ точку пересечения этого перпендикуляра со второй стороной угла.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OM$$ — биссектриса угла $$AOB$$, то

$$\angle AOM=\angle MOB.$$

Кроме того, $$AM \perp OM$$, значит $$AM$$ — высота треугольника $$AOB$$. В треугольнике, где биссектриса из вершины одновременно является высотой, он равнобедренный, поэтому

$$AO=BO.$$

Следовательно, $$OM$$ является также медианой треугольника $$AOB$$, откуда

$$AM=MB.$$

Значит, точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$OM$$. Так как точка $$A$$ была выбрана произвольно, то каждой точке одной стороны угла соответствует симметричная ей точка другой стороны относительно прямой $$OM$$.

Итак, прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.