Упр.7.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны отрезки $$a$$ и $$b$$. Как построить отрезок $$x=\sqrt{ab}$$?

Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, а также единичный отрезок $$\delta$$.

На одной стороне произвольного угла отложим $$OA=a$$, а на другой стороне — отрезки $$OO_1=\delta$$ и $$OB=b$$.

Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную $$AO_1$$, и обозначим через $$Y$$ точку её пересечения с первой стороной угла. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{OY}{OA}=\frac{OB}{OO_1},$$

откуда

$$OY=\frac{OB\cdot OA}{OO_1}=\frac{ab}{\delta}.$$

На произвольной прямой последовательно отложим отрезки $$AX=OY$$ и $$XB=\delta$$.

Построим окружность с диаметром $$AB$$ и через точку $$X$$ проведём перпендикуляр к прямой $$AB$$. Пусть $$D$$ — точка пересечения этого перпендикуляра с окружностью.

Треугольник $$ABD$$ прямоугольный, так как угол $$ADB$$ опирается на диаметр окружности. Тогда высота $$XD$$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу:

$$XD=\sqrt{AX\cdot XB}=\sqrt{\frac{ab}{\delta}\cdot \delta}=\sqrt{ab}.$$

Следовательно, искомый отрезок построен.