Вопрос 15 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите теорему Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Пусть $$A_1, A_2, A_3$$ — точки пересечения параллельных прямых с одной стороной угла, причём $$A_1A_2=A_2A_3$$, а $$B_1, B_2, B_3$$ — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла.

Проведём через точку $$B_2$$ прямую $$EF$$, параллельную прямой $$A_1A_3$$.

Тогда четырёхугольники $$A_1A_2B_2B_1$$ и $$A_2A_3B_3B_2$$ — параллелограммы, поэтому

$$A_1A_2=FB_2,\qquad A_2A_3=B_2E.$$

Так как $$A_1A_2=A_2A_3$$, то $$FB_2=B_2E$$.

Углы $$FB_2B_1$$ и $$B_3B_2E$$ равны как вертикальные, а углы $$B_2FB_1$$ и $$B_2EB_3$$ равны как накрест лежащие при параллельных $$A_1B_1$$ и $$A_3B_3$$ и секущей $$EF$$.

Следовательно, треугольники $$B_2B_1F$$ и $$B_2B_3E$$ равны по второму признаку, откуда

$$B_1B_2=B_2B_3.$$

Что и требовалось доказать.