Упр.5.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Через точку $$A$$ окружности с центром $$O$$ проведена прямая, не касающаяся окружности. $$OB$$ — перпендикуляр, опущенный на данную прямую. На продолжении отрезка $$AB$$ отложен отрезок $$BC$$, равный отрезку $$AB$$. Докажите, что точка $$C$$ лежит на окружности.
- Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
- Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
1) Пусть через точку $$A$$ окружности с центром $$O$$ проведена прямая, не касающаяся окружности. Из точки $$O$$ опущен перпендикуляр $$OB$$ на эту прямую, а на продолжении отрезка $$AB$$ отложен отрезок $$BC$$, равный $$AB$$.
Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$OB \perp AC$$, то $$OB$$ — высота этого треугольника. Кроме того, $$AB=BC$$, значит точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, следовательно, $$OB$$ является медианой треугольника $$AOC$$.
В треугольнике $$AOC$$ высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают. Значит, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, то есть
$$AO=OC.$$
Но $$AO$$ — радиус окружности, а значит и $$OC$$ равно радиусу. Следовательно, точка $$C$$ лежит на данной окружности.
2) Пусть прямая имеет с окружностью только одну общую точку $$A$$. Докажем, что она является касательной в этой точке.
Предположим противное: прямая не является касательной. Тогда она не перпендикулярна радиусу $$OA$$, и к ней можно опустить из центра $$O$$ перпендикуляр $$OB$$. На продолжении отрезка $$AB$$ отложим отрезок $$BC=AB$$.
По пункту 1 точка $$C$$ тоже лежит на окружности. Получается, что прямая имеет с окружностью две общие точки $$A$$ и $$C$$, что противоречит условию.
Следовательно, наше предположение неверно, и прямая является касательной к окружности в точке $$A$$.
3) Пусть две окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ имеют только одну общую точку $$A$$. Докажем, что они касаются в этой точке.
Предположим, что точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ не лежат на одной прямой. Тогда можно построить точку $$A_1$$, симметричную точке $$A$$ относительно прямой $$OO_1$$. Поскольку отражение относительно прямой сохраняет расстояния до точек этой прямой, получаем
$$OA_1=OA,\qquad O_1A_1=O_1A.$$
Значит, точка $$A_1$$ лежит на обеих окружностях. Но тогда у окружностей есть ещё одна общая точка, кроме $$A$$, что противоречит условию.
Следовательно, точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ лежат на одной прямой. Тогда прямая $$OO_1$$ является общей нормалью к окружностям в точке $$A$$, а значит, в точке $$A$$ существует общая касательная. Следовательно, окружности касаются в точке $$A$$.
