Упр.11.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает
его сторону AC в точке A1, а сторону BC в точке B1;
Доказать: треугольник ABC~треугольник A1 B1 C;
Доказательство:
1) Отметим точку D на прямой A1 B1 по другую сторону от точки B1
относительно точки A1;
2) Рассмотрим параллельные прямые AB и A1 B1 и секущую AC:
угол AA1 D = углу CAB (как внутренние накрест лежащие);
3) угол CA1 B1 = углу AA1 D (как вертикальные), значит угол CA1 B1 = углу CAB;
4) Рассмотрим треугольники ABC и A1 B1 C:
угол C-общий и угол A = углу A1, следовательно треугольник ABC~треугольник A1 B1 C по двум углам,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Отметим на прямой $$A_1B_1$$ точку $$D$$ по другую сторону от точки $$B_1$$ относительно точки $$A_1$$.

Рассмотрим параллельные прямые $$AB$$ и $$A_1B_1$$ и секущую $$AC$$. Тогда

$$\angle AA_1D=\angle CAB$$

как внутренние накрест лежащие.

Кроме того,

$$\angle CA_1B_1=\angle AA_1D$$

как вертикальные углы. Следовательно,

$$\angle CA_1B_1=\angle CAB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$. У них угол $$C$$ общий, а также

$$\angle CAB=\angle CA_1B_1.$$

Значит, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C$$ подобны по двум углам.